Un problème de type Yamabe sur les variétés compactes spinorielles compactes

Abstract

Let $(M,g,\si)$ be a compact spin manifold of dimension $n \geq 2$. Let $λ_1^+(\tilde{g})$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator in the metric $\tilde{g} \in [g]$ conformal to $g$. We then define $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} λ_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $. We show that $0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$. %=\frac{n}{2} \om_n^{1 \over n}$ . We find sufficient conditions for which we obtain strict inequality $\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$. This strict inequality has applications to conformal spin geometry. ----- Soit $(M,g,\si)$ une variété spinorielle compacte de dimension $n \geq 2$. %Si $\tilde{g} \in [g]$ est une métrique conforme à $g$, On note $λ_1^+(\tilde{g})$ la plus petite valeur propre $>0$ de l'opérateur de Dirac dans la métrique $\tilde{g} \in [g]$ conforme à $g$. On définit $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} λ_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $. On montre que $0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$. %= \frac{n}{2} \om_n^{1 \over n}$ On trouve des conditions suffisantes pour lesquelles on obtient l'inégalité stricte $\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$. Cette inégalité stricte a des applications en géométrie spinorielle conforme.