Sur la fidélité de certaines représentations de GL_2(F) sous une algèbre d'Iwasawa

Abstract

Let F be a finite extension of Qp, O_F its ring of integers and E a finite extension of Fp. The natural action of the unit group O_F* on O_F extends in a continuous action on the Iwasawa algebra E[[O_F]]. In this work, we show that non zero ideals of E[[O_F]] which are stable under O_F* are open. As a consequence, we deduce the fidelity of the action of E[[U]], with U the subgroup of upper unipotent matrices in GL2(O_F) on an irreducible admissible smooth E-representation of GL2(F). ----- Soit F une extension finie de Qp, d'anneau des entiers O_F et E une extension finie de Fp. L'action naturelle du groupes des unités O_F* sur O_F se prolonge alors en une action continue sur l'algèbre d'Iwasawa E[[O_F]]. Dans ce travail, on démontre que les idéaux non nuls de E[[O_F]] stables par O_F* sont ouverts. En particulier, on en déduit la fidélité de l'action de l'algèbre d'Iwasawa des matrices unipotentes supérieures de GL2(O_F) sur une représentation lisse irréductible admissible de GL2(F).