Théorèmes de dualité pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs et applications arithmétiques

Abstract

Let $K$ be the function field of a smooth projective curve $X$ over a higher-dimensional local field $k$. We define Tate-Shafarevich groups of a commutative group scheme via cohomology classes locally trivial at each completion of $K$ coming from a closed point of $X$. We establish duality theorems between Tate-Shafarevich groups for finite groups schemes, for tori, for groups of multiplicative type, and even for 2-term complexes of tori. We apply these results to the weak approximation for tori over $K$ and to the study of the obstruction to the local-global principle for $K$-torsors under a connected linear algebraic group. We also give examples and counter-examples to the local-global principle for central simple algebras over $K$. Soit $K$ le corps des fonctions d'une courbe projective lisse X sur un corps local supérieur $k$. On définit les groupes de Tate-Shafarevich d'un schéma en groupes commutatif en considérant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque complété de $K$ provenant d'un point fermé de $X$. On établit des théorèmes de dualité arithmétique entre des groupes de Tate-Shafarevich pour les modules finis, pour les tores, pour les groupes de type multiplicatif, et même pour les complexes à deux termes de tores. On applique ces résultats à l'approximation faible pour les tores sur $K$ et à l'étude du principe local-global pour les $K$-torseurs sous un groupe linéaire connexe. On exhibe aussi des exemples et des contre-exemples au principe local-global pour les algèbres simples centrales sur $K$.