Revêtements cycliques qui ne sont pas stablement rationnels

Abstract

En appliquant des méthodes développées par Kollár, Voisin, nous-mêmes, Totaro, nous montrons qu'un revêtement cyclique de $\mathbb P_{\mathbb C}^n, n\geq 3$ de degré premier $p$, ramifié le long d'une hypersurface très générale de degré $mp$ n'est pas stablement rationnel si $m(p-1) <n+1\leq mp$. En basse dimension, on retrouve le cas des revêtements doubles de $\mathbb P^3_{\mathbb C},$ ramifiés le long d'une quartique (Voisin) et des revêtements doubles de $\mathbb P^3_{\mathbb C}$ ramifiés le long d'une sextique (Beauville), et l'on obtient aussi les revêtements doubles de $\mathbb P^4_{\mathbb C}$ ramifiés le long d'une sextique. La méthode produit des exemples définis sur un corps de nombres. Using the methods developed by Kollár, Voisin, ourselves, Totaro, we prove that a cyclic cover of $\mathbb P^n_{\mathbb C}, n\geq 3$ of prime degree $p$ ramified along a very general hypersurface of degree $mp$ is not stably rational if $m(p-1) <n+1\leq mp$. In small dimensions, we recover double covers of $\mathbb P^3_{\mathbb C}$, ramified along a quartic (Voisin), and double covers of $\mathbb P^3_{\mathbb C}$, ramified along a sextic (Beauville), and we also find double covers of $\mathbb P^4_{\mathbb C}$, ramified along a sextic. This method also allows one to produce examples over a number field.