Points rationnels dans leur fibre: compléments à un théorème de Poonen

Abstract

Soit $f:X\to S$ un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque $S$ est de type fini sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, et de dimension $>0$, Poonen a montré qu'il existe un point $x\in X$ dont le corps résiduel $κ(x)$ est une extension radicielle de $κ(f(x))$. Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D'abord, on peut choisir $x$ tel que $f(x)$ soit un point de codimension $1$ de $S$; si $S$ est lisse sur un corps $k$, on peut exiger que $κ(f(x))$ soit séparable sur $k$. Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d'autres classes de schémas $S$, par exemple les schémas noethériens intègres de dimension $\geq2$. Let $f:X\to S$ be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When $S$ is of finite type over a field or over $\mathbb{Z}$, of positive dimension, Poonen has shown that there is a point $x\in X$ whose residue field $κ(x)$ is purely inseparable over $κ(f(x))$. In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take $x$ such that $f(x)$ is a codimension $1$ point of $S$; if $S$ is smooth over a fiel $k$, we can require $κ(f(x))$ to be separable over $k$. In another direction, we prove that similar results hold for other schemes $S$, such as noetherian integral schemes of dimension $\geq2$.