Balade newtonienne entre analyse et arithmétique (Newtonian promenade between analysis and arithmetic)

Abstract

Invented by Kurt Hensel at the very end of 19th century on the model of power series in one indeterminate, the $p$-adic numbers have not only become an indispensable tool of contemporary arithmetic, but a research topic per se. In this text, stemming out two talks at the 2023 X-UPS lectures, I shall explain their construction, how they fit in a vaster framework, between analysis and arithmetic, where two constructions bearing the name of Isaac Newton play a central role : Newton's method and Newton's polygon. Inventés par Kurt Hensel à la toute fin du 19e siècle sur le modèle des séries formelles en une indéterminée, les nombres $p$-adiques sont devenus non seulement un outil indispensable de l'arithmétique contemporaine, mais un sujet d'étude en soi. Dans ce texte, issu de deux exposés aux journées X-UPS 2023, j'expliquerai leur construction, comment ils s'insèrent dans un cadre plus vaste, entre analyse et arithmétique, où deux constructions portant le nom d'Isaac Newton jouent un rôle central: la méthode de Newton et la notion de polygone de Newton.