Series for even powers of Pi by generalization Euler's method for solving the Basel Problem

Abstract

The purpose of this paper is to present series expansions for even powers of the number $π$. This is accomplished by generalizing Euler's method for solving the Basel Problem, which was published in 1735. We employ elementary symmetric polynomials, transform them into nested sums, and thereby derive nice series formulas for even powers of the number $π$ such as \[ \frac{π^2}{3!}= \sum_{\ell_1=1}^\infty\frac{1}{\ell_1^2} \;;\quad\quad \frac{π^4}{5!} = \sum_{\ell_2=2}^\infty \sum_{\ell_1=1}^{\ell_2-1} \frac{1}{\ell_1^2\cdot\ell_2^2} \;;\quad\quad \frac{π^6}{7!}= \sum_{\ell_3=3}^\infty \sum_{\ell_2=2}^{\ell_3-1} \sum_{\ell_1=1}^{\ell_2-1}\frac{1}{\ell_1^2\cdot\ell_2^2\cdot\ell_3^2} \;;\quad\cdots \] Many of these formulas do not seem to be widely known. -- In dieser Abhandlung stellen wir ein Verfahren vor, das die Berechnung von Reihen für geradzahlige Potenzen von $π$ ermöglicht. Die Grundidee ist eine Verallgemeinerung des Verfahrens von Euler, mit dem er 1735 das Basler Problem löste. Wir stellen elementar-symmetrische Polynome durch mehrfach verschachtelte Summen dar und leiten davon Reihen für geradzahlige Potenzen der Kreiszahl $π$ ab. Die meisten der angegebenen Reihen scheinen nicht so bekannt zu sein.