El Teorema de Gelfand Naimark desde una perspectiva Categórica The Gelfand--Naimark Theorem from a Categorical Perspective

Abstract

Este artículo presenta como resultado principal la equivalencia entre, las categorías de espacios topológicos Hausdorff-Compactos y la categoría de las $C^*-$álgebras conmutativas con unidad, producto de la ``traducción'' en este lenguaje del teorema de Gelfand--Naimark presentado en 1943. Haremos un recorrido sobre las principales ideas del análisis y el álgebra, conjugadas con éxito, en el estudio de la teoría de Álgebras de Banach. Así mismo estableceremos, a forma de conclusión, diversas aplicaciones que resultan naturalmente posibles a la luz de la ``analogía y generalización'' que nos permiten la teoría de categorías. Palabras claves: $C^*$-algebras, Categorías, Espacios Topológicos, Teorema de Gelfand-Naimark, Teoría de Representaciones. The goal of this paper is to prove the categorical equivalence between the category of Hausdorff-Compact topological spaces and the category of Unital Commutative $C^*$-algebras. This equivalence can be interpreted as a way of rewriting the well known Gelfand-Naimark Theorem in a categorical language. We will present the basic concepts in the theory of Banach Algebras as a successful link between Analysis and Algebra. Likewise, we will show some applications due to this new perspective, highlighting the categorical connection through proofs of typical problems that don't have an easy solution in $C^*-$algebra. Keywords: Category Theory, $C^*$-algebras, Gelfand-Naimark Theorem, Topological Spaces, Representation Theory.