Dualité étale à la Poitou-Tate pour les tores sur des variétés définies sur un corps fini

Abstract

Let $k$ be a global field of characteristic $p>0$. Denote $Ω_k$ the set of places of $k$ and let $S$ be a non-empty subset of $Ω_k$. We consider a scheme $\mathscr{X} \rightarrow Spec(\mathcal{O}_S)$ smooth, separated, of finite type and $\mathscr{T}$ a tori defined over $\mathscr{X}$. We study the Tate-Shafarevich group given by the elements of $H^1(\mathscr{X}, \mathscr{T})$ which vanish in the group $H^1(\mathscr{X} \otimes_{\mathcal{O}_S} k_v, \mathscr{T})$ for all $v \in S$. We establish a Poitou-Tate duality for $\mathscr{T}$ which generalise the classical Poitou-Tate duality for tori for varieties defined over a finite field of arbitrary dimension. Soit $k$ un corps global de caractéristique $p>0$. Notons $Ω_k$ l'ensemble des places de $k$ et soit $S$ un sous-ensemble non vide de $Ω_k$. On considère un schéma $\mathscr{X} \rightarrow Spec(\mathcal{O}_S)$ lisse, séparé, de type fini et $\mathscr{T}$ un tore défini sur $\mathscr{X}$. On étudie le groupe de Tate-Shafarevich donné par les éléments de $H^1(\mathscr{X}, \mathscr{T})$ qui s'annulent dans les groupes $H^1(\mathscr{X} \otimes_{\mathcal{O}_S} k_v, \mathscr{T})$ pour tout $v \in S$. On établit une dualité pour $\mathscr{T}$ qui généralise la dualité de Poitou-Tate classique pour les tores à des variétés définies sur un corps fini de dimension arbitraire.