Cohomologie des fibrés en droites sur les compactifications des groupes réductifs

Abstract

On s'intéresse aux compactifications équivariantes d'un groupe réductif quelconque, $G$, vu comme espace homogène pour $G \times G$. Pour un revêtement fini $\widetilde{G}$ de $G$, les groupes de cohomologie des fibrés en droites sur ces compactifications sont naturellement des $\widetilde{G} \times \widetilde{G}-$modules de dimension finie. On détermine, dans cet article, tous ces $\widetilde{G} \times \widetilde{G}-$modules en calculant leur multiplicité selon chaque $\widetilde{G} \times \widetilde{G}-$module simple. La formule obtenue est en particulier valable pour les compactifications magnifiques des groupes adjoints et généralise aussi la description bien connue de la cohomologie des fibrés en droites sur les variétés toriques complètes. Notre méthode repose sur le complexe de Grothendieck-Cousin, qui, si $\goth g$ est l'algèbre de Lie de $G$, est un complexe de $\goth g \times \goth g-$modules. Pour analyser ces $\goth g \times \goth g-$modules, on en donne des filtrations dont le gradué associé fait intervenir des << modules de Verma généralisés >>.